关于常数的导数，x的n次方的导数，以及正弦函数的导数以及余弦函数的导数，我们由下图给出，读者可以在任何的高等数学课本中找到具体的推导过程，我们假定读者已经知道了这些事实。

常数的导数，x的n次方的导数，以及正弦函数的导数以及余弦函数的导数

我们假定正弦函数sinx可以被展开成a0*x^ a1*x^ a2*x^2 a3*x^3 a4*x^4 ….这样的幂级数的形式，那么右下图可知，我们可以将这个幂级数求导，我们发现，正弦函数经过四次求导以后变为原来的函数即正弦函数，根据x的n次方函数的求导法则可以得到如下图所示的关系，我们发现：对于任意n的an*x^n，只需要经过n次求导就可以将n次项变为常数项。

我们现在将x=0带入上图的关系式中，这样做的目的是为了消去这些含有x的项，得到具体的系数ai的值。

我们发现：偶次幂的项的系数都为0，而奇次幂的项的系数为对应奇次幂的阶乘。

只有正整数才有阶乘，正整数n的阶乘我们用n！来表示：

n！= 1×2×3×……×n

因此现在我们可以将sinx可以被展开成a0*x^ a1*x^ a2*x^2 a3*x^3 a4*x^4 ….这样的幂级数的形式,即：

sinx= 1！*x^1 3！*x^3 5！*x^5 7！*x^7 … （2n 1）！*x^（2n 1） …

我们称这样的幂级数展开叫做正弦函数的泰勒展开。你可以自己推导出余弦函数的泰勒展开吗？请读者自己试一试。